Teoretické odvození vztahů pro přechod PN

V rovnovážném stavu není na přechod PN přiloženo žádné napětí (tedy U = 0 V). Je zřejmé, že celkový proud procházející přes přechod bude roven nule, takže pro proudovou hustotu platí:

    (1)

Dosadíme za proudovou hustotu děr a elektronů:

    (2)

    (3)

Z rovnice (2) si vyjádříme intenzitu elektrického pole:

    (4)

Za dosadíme z Einsteinova vztahu:

    (5)

Protože napětí mezi dvěma body získáme jako integrál pole mezi těmito body (které leží podle našich zjednodušujících předpokladů v nekonečnu), můžeme napětí na přechodu PN vypočítat takto:

    (6)

Při určení mezí integrálu vyjdeme z předpokladu, že v dostatečné vzdálenosti od přechodu platí:

    (7)

     (8)

Pro difúzní napětí U_D potom dostaneme vztah:

     (9)

Pokud do něj dosadíme z (7) a (8) získáme často užívaný vztah:

     (10)

Abychom kvantitativně popsali přechod PN musíme znát průběh potenciálu, elektrického pole a nábojovou hustotu r . K tomu, abychom tyto veličiny spočetli, potřebujeme zavést ještě další zjednodušující předpoklady a to tzv. depletiční aproximace:

Poissonova rovnice pro jeden rozměr má tvar:

     (14)

Do této rovnice dosadíme depletiční aproximace:

pro      (15)

pro          (16)

pro                   (17)

Z těchto rovnic integrací vypočítáme intenzitu elektrického pole:

pro      (19)

Konstanty určíme z okrajových podmínek, které plynou z rovnice (17):

                (20)

                          (21)

Tyto konstanty dosadíme do rovnic (18) a (19):

pro (22) pro   (23)

Z podmínky spojitosti elektrického pole v bodě x = 0 plyne, že:

    (24)

      (25)

Což je vztah známý jako podmínka nábojové neutrality.

     (26)

Dosadíme-li tento vztah do Poissonovy rovnice , potom:

     (27)

Z této rovnice spočítáme velikost potenciálu:

- pro

     (28)

- pro

     (29)

Konstanty C₃ a C₄ je nutné určit z okrajových podmínek. Víme, že:

• U_D je úměrné rozdílu potenciálů mezi oběma konci,
• v kvazineutrálních oblastech E = 0 a nedochází tam ke změně potenciálu,
• zvolíme V(-x_p) = 0 a V(x_n) = U_D
.

Potom tedy:

- pro

     (30)

- pro

     (31)

Víme, že v bodě x = 0 platí spojitost potenciálu, můžeme tedy stanovit šířku depletiční oblasti srovnáním rovnic (30) a (31):

     (32)

Do tohoto vztahu dosadíme podmínku nábojové neutrality :

     (33)

a vyjádříme x_n

     (34)

dosazením vyjádříme:

     (35)

Celková šířka depletiční oblasti w je tedy:

     (36)

Přechod PN, Teorie přechodu PN, Kapacita přechodu PN, Voltampérová charakteristika přechodu PN, Použité konstanty a hodnoty